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レベル補正された画像の平坦化と元画像の復元

ここでは、画像に対して行われ得る処理をレベル補正のみに限定して考える。

前述したとおり、レベル補正された画像は、背景レベルで単純に除算して平坦化 することはできない。 しかし、星像検出の際に閾値を小さくすると、中央部に偏ってノイズが現れて来 たことから、場所による感度の相違は、ノイズにも影響していることが分かる。 即ち、感度が高いほどノイズも大きくなる。 このノイズの大きさはレベル補正の影響を受けない。 例えば、中央の感度が周辺に比べて2倍あって、中央部の背景レベルが 、周辺部が になったとする。 この画像全体から40を減算した場合、背景レベルはそれぞれ 、 となり、ノイズの大きさの比は2:1のままで、感度の比を保っている。 即ち、ノイズの分散傾向から、除算すべきフラットフィールド関数を得ることが できる。

現在のPIXYシステムで用いている手法は次の通りである。 まず、画像を適当な小領域に分割し、各領域内のピクセル値の標準偏差を求める。 具体的には、10x10の領域に分割している。 次に、画像内の座標 に対するピクセル値の標準偏差を表すフラットフィー ルド関数を求める。 フラットフィールド関数は の2次関数で近似する。

しかしこの方法では、明るい星が画像内で偏在している場合や、ダークノイズが 存在する場合に、それらの影響で誤ったフラットフィールドが求められてしまう ことがある。 例えば、下の図はCCD画像で元々かなり平坦なものだが、画像の上部や左側に偏っ て明るい星がある。

ウィルド第４彗星
中村彰正氏撮影
1997年5月31日

そのため、そのままフラットフィールドを求めると、以下のような極端なフラッ トフィールド関数が求められてしまう。 ここで、上の図が10x10の小領域毎のピクセル値の標準偏差を示したもので、明 るいほど標準偏差が大きい。 下の図がそれを2次関数で近似したフラットフィールドである。

この関数で補正をすると却って逆効果となる。 そこでPIXYシステムでは、予め画像全体のピクセル値の平均値 と 標準偏差 を求めておき、10x10の小領域毎に標準偏差を求める際に は、値が の範囲外のピクセルは恒星やダークノイ ズとして無視し、範囲内のピクセルのみを利用するようにした。 こうすることで、先のウィルド第４彗星の画像からも、以下のような妥当なフラッ トフィールドが得られる。

フラットフィールド関数が得られたら、全ピクセル値をフラットフィールド関数 で除算する。 この時、場合によってはフラットフィールド関数の値が0近くや負の値になって しまうため、画像全体でのフラットフィールドの最小値が1になるように底上げ している。 ここでスカイフィールド(背景レベル)を求めるが、一般にある一定値にはならな いため、これを2次関数で近似する。 レベル補正されていない画像に対してこれらの処理を行うと、ここでスカイフィー ルドが平面として得られるはずである。 このことから逆に、どのようなレベル補正を施されているかを算出し、補正前の ピクセル値を得る。 これを先のフラットフィールド関数で除算すると、平坦な画像が得られる。 ここでスカイフィールドを定数として求め、閾値を越えるものを星像として検出 する。

これらの処理を定式化すると、次の通りになる。 レベル補正前の元画像のピクセル値をpとする。 レベル補正した後の画像のピクセル値 は、

と表される。 ここでa,bは定数である。 PIXYシステムでは、p,a,bは未知で、 だけが与えられる。 ノイズの分散傾向から求めたフラットフィールド関数をFとする。 フラットフィールド関数で除算した後に得られる画像を とすると、そのス カイフィールドは、

となる。 ここで、 は元画像(の定数a倍)をフラット補正した結果 得られるスカイフィールドであり、平面即ち定数となる。 bも定数である。 また、 とFはそれぞれ関数として既知である。 そこで、各座標 に対して とFを代入し、最小2乗法によって定 数 とbを求める。 その結果、元画像(の定数a倍)のピクセル値は

それを平坦化した画像は

として得られる。 とスカイフィールド の差が閾値よりも大 きければ星像と見做す。